Секрет решения задач по математике №5

Тригонометрические выражения

 Тестовые задания по тригонометрии - самые трудные и нелюбимые школьниками. Почему? Причина проста. Школьники на хотят зубрить соответствующие формулы. А без формул в тригонометрии никуда. А можно ли решать тестовые (и не только) знания без формул?

 Вообще говоря нельзя. Но если очень хочется, то можно. А если серьезно, то можно, но с одной оговоркой - только иногда. При этом в редких случаях. На сегодняшнем уроке разберем такие тестовые задания по тригонометрии.

 Пример 1. Дано: tgα = 3/4, 0 < α < π/2. Вычислить sinα + 2cosα.

    1) -10/5;      2) 10/5;      3) -11/5;             4) 11/5;      5) 7/5.    

 Вот как можно решить наше тестовое задание без всяких формул, используя только определение тангенса, косинуса и котангенса одного и того же угла. Так как 0 < α < π/2 (угол α - острый), то используем определение тригонометрических функций для острого угла из курса геометрии восьмого класса (кто не помнит - почитайте учебник геометрии).

 Построим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 (стройте сами без меня). Понятно, что это так называемый египетский треугольник, у которого гипотенуза равна 5 (кто в этом не уверен - вычислите гипотенузу по теореме Пифагора). Тогда sinα по определению равен отношению противолежащего катета (3) к гипотенузе (5), cosα - отношению прилежащего катета (4) к гипотенузе (5).

 Поэтому sinα + 2cosα = 3/5 + 8/5 = 11/5. Значит, ответ 4 - правильный.

 Пример 2. Дано: sinα = -3/5, π < α < 3π/2. Вычислите 2tgα + ctgα.

    1) 25/12;      2) 17/6;      3) -25/12;             4) -17/6;      5) 25/6.    

 В координатной плоскости ХОУ построим окружность с радиусом 5 и на ней отметим точку с ординатой  -3.

Очевидно, что треугольник МАО - египетский. Поэтому МА = 4. Значит, точка М имеет координаты х = -4, у = -3.

 По определению tgα = у/MO = 3/4, а ctgα = х/MO = 4/3. Поэтому 2tgα + ctgα = 3/2 + 4/3 = 17/6. Значит, правильный ответ 2.

 А где же калькуляторное решение? Конечно, его можно реализовать. Однако не все так просто. В нашем случае угол α расположен в третьей четверти, а для этих случаев непосредственное применение калькулятора невозможно. Нужно помнить, что калькулятор удобно применять тогда, когда угол α расположен в первой четверти. Поэтому мы рассматривать калькуляторное решение не будем, так как оно потребует больше времени, чем то решение, которое приведено выше.

Задания для самостоятельного решения

 Пример 1. Дано: sinα = 40/41, 0 < α < π/2. Вычислите tgα - ctgα.

    1) 1681/360;      2) -1519/360;      3) -1681/360;

     4) 81/360;      5) 1519/360.    

 Пример 2. Дано: cosα = -3/5, π/2 < α < π. Вычислите tgα + sinα.

    1) -8/15;      2) 8/15;      3) 32/15;             4) -32/15;      5) 31/20.